ତ୍ରିଭୁଜ

ଇଂରାଜୀ ଲିଙ୍କ

https://or.wikipedia.org/wiki/Triangle

ତ୍ରିଭୁଜ
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଚିତ୍ର
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	{3} (for equilateral)
Area	ବିଭିନ୍ନ ପଦ୍ଧତି
Internal angle (degrees)	60° (for equilateral)

ତ୍ରିଭୁଜ (English: Triangle) ହେଉଛି ଏକ ମୋଳିକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଆକାର । ଏହାର ଏକ ବହୁଭୂଜ ଯାହାର ତିନୋଟି 'କୋଣ' ଓ ତିନୋଟି 'ବାହୁ' (ରେଖାଖଣ୍ଡ) ଥାଏ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି କୋଣ 'କ', 'ଖ' ଓ 'ଗ' ହୁଏ ତେବେ ଏହାକୁ 'Δକଖଗ' ଭାବେ ଲେଖାଯିବ ।

ଯୁକ୍ଲିଡୀୟ ଜ୍ୟାମିତିରେ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥାନ କରୁନଥିବା ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ କେବଳ ଏକ ମାତ୍ର ତ୍ରିଭୁଜକୁ ସୁଚାଇଥାନ୍ତି ।

ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ତ୍ରିଭୁଜ

ବାହୁ ଅନୁଯାୟୀ ତ୍ରିଭୁଜ ୩ ପ୍ରକାର ଯଥା:

1. ସମ ବାହୁ - ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ୩ଟି ଯାକ ବାହୁ ସମାନ ତାହାକୁ ସମ ବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
2. ସମଦ୍ୱି ବାହୁ - ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୋଣସି ୨ଟି ବାହୁର ପରିମାଣ ସମାନ ତାହାକୁ ସମ ଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
3. ବିଷମ ବାହୁ - ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ବାହୁର ପରିମାଣ ସମାନ ନୁହେଁ ତାହାକୁ ବିଷମ ବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

କୋଣ ଅନୁଯାଇ ତ୍ରିଭୁଜ ୩ ପ୍ରକାର।ଯଥା:

1. ସୂକ୍ଷ୍ମ କୋଣି - ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସୁକ୍ଷ୍ମ କୋଣ ବା ୯୦°ରୁ କମ ।
2. ସମ କୋଣି - ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣ ସମକୋଣ ବା ୯୦°।
3. ସ୍ଥୂଳ କୋଣି - ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।

ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ପର୍କୀୟ ବିବିଧ ତଥ୍ୟ

• ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି ୧୮୦° ।
• ତ୍ରିଭୁଜର ଯେ କୌଣସି ଦୁଇ ବାହୁର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।
• ତ୍ରିଭୁଜର ଯେ କୌଣସି ଦୁଇ କୋଣର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ସହ ସମାନ ।

ଗାଣିତିକ ସମାଧାନ

ବାହୁ ଓ କୋଣ

• ତ୍ରିଭୁଜର ଛଅ ଗୋଟି ତଥ୍ୟ (ତିନି ବାହୁ ଓ ତିନି କୋଣ) ମଧ୍ୟରୁ ଅନ୍ତତଃ ତିନୋଟିର ମୂଲ୍ୟ ଜାଣିଲେ ଅନ୍ୟ ୩ଟିର ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ।

• ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣର ବର୍ଗ, ଏହାର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ । ଏହା ପିଥ।ଗୋରାସ ନିୟମ ଭାବେ ପରିଚିତ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

• ଯେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏହାର ଭୁମି ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଗୁଣଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ସହ ସମାନ ।

ଅର୍ଥାତ, $A={\frac {1}{2}}bh$ ( ଏଠାରେ A=କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, b=ଭୂମି ଓ h=ଉଚ୍ଚତା )

• ହୀରୋନଙ୍କ ସୂତ୍ର ପ୍ରକାରେ ମଧ୍ୟ ଯେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେବ:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

( ଏଠାରେ a,b ଓ c, ହେଉଛନ୍ତି ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି ବାହୁ ଏବଂ s =ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମାର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଏବଂ A ହେଉଛି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ )

• ହୀରୋନଙ୍କ ସୂତ୍ରକୁ ଅଲଗା ସମୀକରଣ ଭାବେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ । ଯେପରିକି;

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

• ଏହାଛଡା ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ୟ ଏକ ସୂତ୍ର ହେଲା:

$A=r\cdot s$ (ଏଠାରେ r = ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ s = ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମାର ଅର୍ଦ୍ଧେକ )

ସଦୃଶ ଓ ସର୍ବସମ

• ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏର ତିନିକୋଣ ଯଦି ଅନ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣ ସହ ସମାନ ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ସଦୃଶ ।
• କିନ୍ତୁ ନିମ୍ନ କେତୋଟି ସର୍ତ୍ତରେ ହିଁ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର ସର୍ବସମତା (ପ୍ରଥମ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟ, କୋଣତ୍ରୟ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଯଥାକ୍ରମେ ବାହୁତ୍ରୟ, କୋଣତ୍ରୟ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ସମାନ ) ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇପାରିବ ।

ଯେପରିକି ପ୍ରଥମ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁ ଏବଂ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ(SAS) ଯଦି ଅନ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁ ଏବଂ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ ସହ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି ।

ପ୍ରଥମ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବାହୁ ଏବଂ ଏହା ସଂଲଗ୍ନ ଦୁଇ କୋଣ(ASA) ଯଦି ଅନ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବାହୁ ଏବଂ ଏହା ସଂଲଗ୍ନ ଦୁଇ କୋଣ ସହ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି ।

ପ୍ରଥମ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି ବାହୁ (SSS) ଯଦି ଯଦି ଅନ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି ବାହୁ ସହ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି ।

ବାହାର ଲିଙ୍କ

• Ivanov, A.B. (2001), "Triangle", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangle.