ସିଲ୍‌ଭିଷ୍ଟର୍‌ଙ୍କ କ୍ରାଇଟେରିଅନ୍

ଗଣିତରେ, ଗୋଟିଏ ହର୍‌ମିସିଆନ୍ (Hermitian) ମାଟ୍ରିକ୍ସ positive-definite କି ନୁହେଁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାପାଇଁ, ସିଲ୍‌ଭିଷ୍ଟର୍‌ଙ୍କ କ୍ରାଇଟେରିଅନ୍ (Sylvester’s criterion) ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଜରୁରୀ ଓ ଯଥେଷ୍ଟ (necessary and sufficient) କ୍ରାଇଟେରିଅନ୍ । ଏହାର ନାମକରଣ ଜେମ୍‌ସ ଜୋସେଫ୍  ସିଲ୍‌ଭିଷ୍ଟର୍‌‌ଙ୍କ (James Joseph Sylvester) ନାମ ଅନୁସାରେ ହୋଇଛି ।

ସିଲ୍‌ଭିଷ୍ଟର୍‌ଙ୍କ କ୍ରାଇଟେରିଅନ୍ କହେ ଯେ ଗୋଟିଏ ହର୍‌ମିସିଆନ୍ ମାଟ୍ରିକ୍ସ  M ହେଉଛି positive-definite ଯଦି ଏବଂ କେବଳ ଯଦି (if and only if) ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମସ୍ତ ମାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଡ଼ିକର ଯୁକ୍ତତ୍ମକ determinant ଥାଏ:

• the upper left 1-by-1 corner of M,
• the upper left 2-by-2 corner of M,
• the upper left 3-by-3 corner of M,
• ${}\quad \vdots$
• M ନିଜେ ।

ଅନ୍ୟ ଭାଷାରେ କହିଲେ, ସମସ୍ତ ମୁଖ୍ୟ principal minors ଗୁଡ଼ିକ ଯୁକ୍ତତ୍ମକ ହେବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

positive-semidefinite ହର୍‌ମିସିଆନ୍ ମାଟ୍ରିକ୍ସ ବିଷୟରେ ବୁଝାଉଥିବା ଆଉ ଏକ ଉପପାଦ୍ୟ ହେଉଛି: ଗୋଟିଏ ହର୍‌ମିସିଆନ୍ ମାଟ୍ରିକ୍ସ M ହେଉଛି positive-semidefinite ଯଦି ଏବଂ କେବଳ ଯଦି Mର ସମସ୍ତ principal minor ଗୁଡ଼ିକ ବିଯୁକ୍ତତ୍ମକ ନ-ହୁଅନ୍ତି (nonnegative) ।

ଆଧାର

• Gilbert, George T. (1991), "Positive definite matrices and Sylvester's criterion", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 98 (1): 44–46, doi:10.2307/2324036, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324036.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6. See Theorem 7.2.5.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 0-89871-454-0.