ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

କୌଣସି ଘଟଣା ଘଟିବାର ଗାଣିତିକ ସମ୍ଭାବନା “ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ” ବା “ସମ୍ଭାବନା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ” (ଈଂରାଜୀରେ Probability Theory)ଦ୍ୱାରା ନିରୂପିତ ହୋଇଥାଏ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା । ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନା ରହିଥାଏ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଏହାକୁ ଅନେକ ସ୍ୱୟଂସିଦ୍ଧ ସୂତ୍ରର ବ୍ୟବହାର କରି ଗାଣିତିକ ଭାଷାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ସାଧାରଣତଃ ଏହି ସ୍ୱୟଂସିଦ୍ଧ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ସମ୍ଭାବନାକୁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପରିସୀମା (ଈଂରାଜୀରେ Probability Space) ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତି । ଏହି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପରିସୀମା ମଧ୍ୟରେ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବନାର ସର୍ବନିମ୍ନ ମାନ ୦ (ଶୂନ୍ୟ) ଓ ସର୍ବାଧିକ ମାନ ୧ ହୋଇପାରେ । ଯେଉଁ ସବୁ ପରିଣାମରୁ ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପିତ ହୁଏ ତାଙ୍କୁ ସମୂହ ଭାବେ ପ୍ରତିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି (ଈଂରାଜୀରେ Sample Space) ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ପ୍ରତିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର କୌଣସି ଏକ ଉପସେଟ୍‍କୁ ଘଟଣା (ଈଂରାଜୀରେ Event) ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ : ୬ଟି ପାର୍ଶ୍ୱ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ୬ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ – ତାହା ଜାଣିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ପରିଣାମମାନଙ୍କ ସେଟ୍ ଗଢ଼ିଲେ ଆମେ {୧, ୨, ୩, ୪, ୫, ୬} ପାଇବା । ଏହା ହିଁ ଆମର ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି । ୧ ପଡ଼ିବା, ୨ ପଡ଼ିବା, ୩ ପଡ଼ିବା ଇତ୍ୟାଦି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଘଟଣା ।

ଯଦିଓ କୌଣସି ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନ ବିଷୟରେ ପୂର୍ବାନୁମାନ କରିହେବ ନାହିଁ, ତଥାପି ଏହାକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ସମ୍ଭାବନାର ପରିଧି ମଧ୍ୟରେ ରଖାଯାଇପାରିବ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଦୁଇଟି ତତ୍ତ୍ୱ ହେଲେ ବୃହତ୍ ସଂଖ୍ୟାଙ୍କ ନିୟମ (ଈଂରାଜୀରେ Law of Large Numbers) ଓ ମଧ୍ୟ ଆବଦ୍ଧତା ପ୍ରମେୟ (ଈଂରାଜୀରେ Central Limit Theorem - CLT) ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶାଖା ପରିସଂଖ୍ୟାନ ନିରୂପଣର ଏକ ଉପଶାଖା ଓ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର ତଥ୍ୟର ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ।^[୧] କୌଣସି ଜଟିଳ ବ୍ୟବସ୍ଥା ବିଷୟରେ ଆଂଶିକ ଜ୍ଞାନ ବା ବିବରଣୀ ରହିଥିଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାର ଅନ୍ୟ ପ୍ରକୃତି ବିଷୟରେ କଳନା କରାଯାଏ । ପ୍ରମାତ୍ର ବିଜ୍ଞାନ (ଈଂରାଜୀରେ Quantum Physics)ରେ ଆଣବିକ ସ୍ତରରେ ଘଟୁଥିବା ବିଷୟମାନଙ୍କ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଜ୍ଞାନ ନଥିବା ବେଳେ, ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏକବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଅନେକ ଅଗ୍ରଗତି ହୋଇପାରିଛି ।^[୨]

ସମ୍ଭାବନାକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାର ଏକ ଉଦାହରଣ ହେଲା :


କଣ ସମ୍ଭାବନା	କେତେ (ପ୍ରତିଶତ ସମ୍ଭାବନାର ମାପ)	କେତେ (ସମ୍ଭାବନାର ମାପ)
ସୁନିଶ୍ଚିତ (Absolutely Certain)	୧୦୦%	୧୦
ପ୍ରାୟ ନିଶ୍ଚିତ (Very Likely)	୯୦%	୦.୯
ଅଧିକ ସମ୍ଭାବନା (Quite Likely)	୭୦%	୦.୭
ସମ-ସମ୍ଭାବନା(Evens ବା Equally likely)	୫୦%	୦.୫
କମ୍ ସମ୍ଭାବନା (Not Likely)	୩୦%	୦.୩
ପ୍ରାୟ ଅସମ୍ଭବ (Not Very Likely)	୨୦%	୦.୨
ଅସମ୍ଭବ (Never ବା Absolutely no chance)	୦%	୦

ଇତିହାସ

ସପ୍ତାଦଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଫ୍ରାଂସ୍ ଦେଶରେ ସେଭାଲିଏ ଡି ମେରେ ନାମକ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ବାସ କରୁଥିଲେ । ବିଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନରେ ବାଜି ଲଗାଇବା ତାଙ୍କର ସଉକ ଥିଲା । ପଶାକୁ ଚାରିଥର ଗଡ଼ାଇଲେ ଥରେ ନିଶ୍ଚୟ ୬ ପଡ଼ିବ ବୋଲି ସେ ଦିନେ ପଇସା ବାଜି ଲଗାଇଲେ କିନ୍ତୁ ବାଜି ହାରିଲେ । ଏହା ପରେ ୨୪ ଥର ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ଥରେ ନିଶ୍ଚୟ ୬ ପଡ଼ିବ ବୋଲି ଆଉ ଏକ ବାଜି ଲଗାଇ ମଧ୍ୟ ହାରିଗଲେ । ନିଜ ଦୁର୍ଭାଗ୍ୟ ବିଷୟରେ ସେ ନିଜ ଗଣିତଜ୍ଞ ବନ୍ଧୁ ପାସ୍କାଲଙ୍କୁ ଜଣାଇଥିଲେ । ପାସ୍କାଲ୍ ଆଉ ଜଣେ ସହକର୍ମୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ପିଏରେ ଡି ଫେର୍ମାଟ୍‍ଙ୍କୁ ଚିଠି ଲେଖି ଏହି ବିଷୟ ଜଣାଇଥିଲେ । ପତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ସେ ଦୁହିଁଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ହୋଇଥିବା ଚର୍ଚ୍ଚାରୁ ପରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲା ।

ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଗେରୋଲାମୋ କାର୍ଡାନୋ ଓ ସପ୍ତଦଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ବ୍ଲେଇ ପାସ୍କାଲ୍ ତଥା ପିଏରେ ଡି ଫେର୍ମାଟ୍‍ଙ୍କଦ୍ୱାରା ଖେଳରେ ବାଜି ଲଗାଇ ଜିତିବାର ବିଶ୍ଳେଷଣ ଏହି ଗାଣିତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ମୂଳଦୁଆ ପକାଇଥିଲା । ୧୬୫୭ ମସିହାରେ ଖ୍ରୀଷ୍ଟିୟାନ୍ ହାଇଜେନ୍ସ୍ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବିଷୟରେ ଏକ ପୁସ୍ତକର ପ୍ରକାଶନ କରାଇଥିଲେ । ଉନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ପିଏରେ ଲାପ୍ଲାସ୍ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର କିଛି ଅଂଶକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣତା ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ଯାହା ଆଜିର ସମୟରେ ପାରମ୍ପରିକ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଭାବେ ଜଣାଶୁଣା ।

ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଅବସ୍ଥାରେ ଅଲଗା ଅଲଗା ଘଟଣା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପଣ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରାଗଲା । ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ଅନେକ ଘଟଣାକୁ ମିଶାଇ ଗୋଟିଏ ଅସ୍ଥାୟୀ ରାଶିର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରାଗଲା ।

ରିଚାର୍ଡ୍ ଭୋନ୍ ମିଜେସ୍‍ଙ୍କ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି ତତ୍ତ୍ୱ ସହିତ ଆଣ୍ଡ୍ରେ ନିକୋଲାଭିକ୍ କୋଲ୍ମୋଗ୍ରୋଭ୍ ଅନ୍ୟ କେତେକ ସୂତ୍ର ଓ ପ୍ରଣାଳୀ ମିଶାଇ ୧୯୯୩ ମସିହାରେ ଆଧୁନିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ସ୍ୱୟଂସିଦ୍ଧମାନଙ୍କ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ । ବ୍ରୁନୋ ଡି ଫିନେଟ୍ଟି ଗଣନୀୟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ପ୍ରଣାଳୀର ଆବିଷ୍କାର କରିଥିଲେ । ^[୩]

ପୃଥକ୍ ଘଟଣାରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣର ଉଦାହରଣ

ପୃଥକ୍ ଘଟଣାରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବଣ୍ଟନର ଏକ ଗ୍ରାଫ୍ ହେଉଛି ପୋଇସନ୍ ବଣ୍ଟନ

ପୃଥକ୍ ଘଟଣାରେ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର ସମସ୍ତ ପରିଣାମ ଗଣନା କରିହେବ । ଏପରି ଘଟଣାର ଉଦାହରଣମାନ ହେଲେ : ପଶା ଗଡ଼ାଇବା, ତାସ୍ ଖେଳର କାର୍ଡ୍ ଉଠାଇବା, ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କରିବା ଇତ୍ୟାଦି । ପାରମ୍ପରିକ ପରିଭାଷା ଅନୁଯାୟୀ ସମ୍ଭାବନା ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା ସମସ୍ତ ପରିଣାମର ସଂଖ୍ୟାକୁ ସର୍ବମୋଟ ପରିଣାମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ବିଭାଜିତ କଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପିତ ହୋଇପାରିବ ।

ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଉପରକୁ ଫିଙ୍ଗିଲେ ଚିତୁ ବା ମାକୁ ପଡ଼େ । ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିରେ ସର୍ବମୋଟ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ତେଣୁ ଚିତୁ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୫୦% ଓ ମାକୁ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୫୦% ।

ସମସଂଖ୍ୟା ପଡ଼ିବାର ୩ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଅସମସଂଖ୍ୟା ସମ୍ଭାବନାଗୁଡ଼ିକ A ସେଟ୍ ରୂପେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ

ଦୁଇଟି ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ସମୁଦାୟ ୩୬ଟି ପରିଣାମ ମିଳିପାରେ । ତେଣୁ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିରେ ୩୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଦୁଇଟି ପଶାରେ ପଡ଼ୁଥିବା ପରିଣାମକୁ (i,j) ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ ଆମକୁ (୧,୧), (୧,୨), (୧,୩), (୧,୪),....(୬,୫), (୬,୬) ଏପରି ସର୍ବମୋଟ ୩୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଥାଏ । ମନେକର ଦୁଇଟି ପଶାରେ ପଡ଼ୁଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ୬ ହେବ ବୋଲି ବାଜି ଲଗାଯାଉ । ଏପରି କ୍ଷେତ୍ରରେ ୫ଟି କ୍ଷେତ୍ରରେ ହିଁ - (୧,୫), (୨,୪), (୩,୩), (୪,୨), (୫,୧) ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ଅଛି । ତେଣୁ ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ୫/୩୬ ବା ୧୩.୮୯% ।

ସେହିପରି ପଶାକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ୧ରୁ ନେଇ ୬ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପଡ଼ିବାର ସର୍ବମୋଟ ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଏକ ସମସଂଖ୍ୟା (ଯଥା ୨, ୪,୬) ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ହେଉଛି ${\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{2}}$ । ଦୁଇଟି ଯାକ ପଶା ଏକା ଆକାର ଓ ପ୍ରକାରର ହେଲେ ଉପରୋକ୍ତ ତିନୋଟି (୧, ୫), (୨, ୪), (୩, ୩) ସମ୍ଭାବନା ଅଛି । କିନ୍ତୁ ପଶା ଦୁଇଟିଙ୍କୁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ବୋଲି କହିଲେ (୧,୫), (୨,୪), (୩,୩), (୩,୩), (୪,୨), (୫,୧) ଏପରି ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିପାରିବ । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣର ଏପରି ଏକ ପରିଦୃଶ୍ୟରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‍ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲା ।

ଆଧୁନିକ ପରିଭାଷାରେ ଫଳନ ମାଧ୍ୟମରେ ପରିଭାଷାକୁ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ । ସମସ୍ତ ଗଣନୀୟ ପରିଣାମକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି $\Omega$ ବୋଲାଏ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଘଟଣା $x\in \Omega \,$ ଅର୍ଥାତ୍ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର ଏକ ଉପସେଟ୍ । ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନାକୁ $f(x)\,$ ଆକାରରେ ଲେଖିବା ।

ଏହି ଫଳନ $f(x)\,$ ର ମାନ ୦ରୁ ୧ ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାଏ । କାରଣ ଘଟଣା ନଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନା ୦% ଓ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସର୍ବାଧିକ ୧୦୦% । ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି Ωର ସମସ୍ତ x ପାଇଁ $f(x)\,$ ର ମାନ ୦ରୁ ୧ ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାଏ । ତେଣୁ $f(x)\in [0,1]{\mbox{ for all }}x\in \Omega \,;$ ପୁଣି ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି Ωର ସମସ୍ତ x ପାଇଁ $f(x)\,$ ର ମାନଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ୧ । ଏହାକୁ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରଭାବେ ଲେଖିଲେ $\sum _{x\in \Omega }f(x)=1\,.$ କୌଣସି ଏକ ଘଟଣା $E\,$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରରେ ଲେଖିଲେ

P(E)=\sum _{x\in E}f(x)\,.

ନିରନ୍ତର ଘଟଣାରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବଣ୍ଟନ

ଅନେକ ଛୋଟ ଛୋଟ ବ୍ୟବଧାନରେ ଘଟୁଥିବା ଘଟଣାମାନଙ୍କ ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିକୁ ନିରନ୍ତର ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟି କୁହାଯାଏ ।

ନିରନ୍ତର ପରିଦର୍ଶ ସମଷ୍ଟିର ପାରମ୍ପରିକ ପରିଭାଷା ନାହିଁ ।

ଏକ ଅସ୍ଥିରାଙ୍କ Xର ସମସ୍ତ ପରିଣାମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ( $\mathbb {R}$ )ମାନଙ୍କର ଏକ ସେଟ୍ ହେଲେ ବା ଏହି ସେଟ୍‍ର ଏକ ଉପସେଟ୍ ହେଲେ ଚକ୍ରବୃଦ୍ଧି ବଣ୍ଟନ ଫଳନ (Cumulative Distribution Function-CDF) $F\,$ କୁ $F(x)=P(X\leq x)\,$ ଭାବେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।

ଚକ୍ରବୃଦ୍ଧି ଫଳନ ବଣ୍ଟନ ପାଇଁ ନିମ୍ନ ଲିଖିତ ଅବସ୍ଥା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇଥାଏ :

$F\,$ ଏକ ନିରନ୍ତର ଫଳନ;
$\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0\,;$
$\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1\,.$

ଆଧାର

↑ Inferring From Data
↑ "Why is quantum mechanics based on probability theory?". StackExchange. July 1, 2014.^{[unreliable source?]}
↑ ""The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-02-05. Retrieved 2012-02-12.

[1] Inferring From Data

[2] "Why is quantum mechanics based on probability theory?". StackExchange. July 1, 2014.^{[unreliable source?]}

[3] ""The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-02-05. Retrieved 2012-02-12.

[୧]

[୨]

[୩]